Question

13．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A，B两点，且AC是切线，⊙O与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F．
（1）求证：AC=FC；
（2）已知：⊙O半径5，OF=2，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，OD，如图，根据切线的性质得∠OAC=90°，即∠1+∠CAF=90°，根据垂径定理得到OD⊥BE，则∠D+∠2=90°，然后利用等量代换可得到∠3=∠CAF，于是根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）在Rt△ODF中利用勾股定理计算．

解答 （1）证明：连接OA，OD，如图，
∵AC是切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，即∠1+∠CAF=90°，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠2=90°，
∵∠1=∠D，∠2=∠3，
∴∠3=∠CAF，
∴AC=FC；
（2）解：在Rt△ODF中，OD=5，OF=2，
∴DF=$\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{29}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．