Question

20．如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点E，CE⊥BP于点E，BP=EC．
（1）请判断四边形ABCD是否是正方形？若是，写出证明过程：若不是，说明理由；
（2）延长EC到点F，使CF=BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为矩形可得∠ABC=90°，易得∠ABP+∠PBC=90°，由AP⊥BP，可得∠ABP+∠PAB=90°，易得∠PBC=∠PAB，由AAS定理可得△ABP≌△BCE，由全等三角形的性质可得AB=BC，易得结论；
（2）连接AC，由△ABP≌△BCE易得AP=BE，又CF=BE，可得AP=CF，易得四边形ACGP是平行四边形，可得∠ACB=∠BGP，由四边形ABCD是正方形，AC是对角线，可得∠ACB=∠BGP=45°．

解答 解：（1）四边形ABCD为正方形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
即∠ABP+∠PBC=90°，
∵AP⊥BP，
∴∠ABP+∠PAB=90°，
∴∠PBC=∠PAB，
∵CE⊥BP，
∴∠APB=∠BEC=90°，
在△ABP与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠CBE}\\{∠APB=∠BEC}\\{PB=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCE，
∴AB=BC，
∴矩形ABCD为正方形；

（2）连接AC，
∵△ABP≌△BCE，
∴AP=BE，
∵BE=CF，
∴AP=CF，
∵AP⊥BP，CE⊥BP，
∴AP∥CF，
∴四边形ACGP是平行四边形，
∴AC∥PF，
∴∠ACB=∠BGP，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ACB=45°，
∴∠BGP=45°．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质和正方形的性质及判定，综合利用各定理是解答此题的关键．