Question

如图，?ABCD中，E是BC的中点，AE=9，BD=12，AD=10．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求?ABCD的面积．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）先证明△AFD∽△EFB，进而算出EF=3，BF=4，BE=5，再证明△BFE是直角三角形，从而证得AE⊥BD；
（2）再求解△ABE的面积，进一步求出平行四边形的面积．进而得到△BAD的面积，最后求得平行四边形ABCD的面积．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AFD∽△EFB，
∵E是BC的中点，
∴BE=

1

2

AD，
∴

FE

AF

=

BE

AD

=

1

2

，
∵AE=9，BD=12，AD=10，
∴EF=3，BF=4，BE=5，
∵3²+4²=5²，
∴△BFE是直角三角形，
∴AE⊥BD；

（2）∵AE⊥BD，
∴S_△BEF=

1

2

•BF•EF=6，
又∵S_△BFE：S_△ABF=EF：FA=1：2，
∴S_△ABF=12，得S_△ABE=18，
∵E是BC的中点，
∴S_?ABCD=4S_△ABE=72．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，平行四边形的性质，关键是证出△BFE是直角三角形，算出△ABE的面积．