Question

18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，1），B（-3，1），C（-1，4）．
（1）△ABC的内切圆的半径为$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A₁BC₁，请在图中画出△A₁BC₁，并求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理计算出BC，然后直角三角形的内切圆的半径=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边）求解；
（2）利用网格特点和旋转的性质画图，然后根据扇形面积公式，利用线段AC旋转过程中所扫过的面积=S_扇形CBB1+S_△BA1C1-S_△BAC-S_扇形ABA1=S_扇形CBB1-S_扇形ABA1进行计算即可．

解答 解：（1）AB=2，AC=3，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
所以△ABC的内切圆的半径=$\frac{2+3-\sqrt{13}}{2}$=$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$；
故答案为$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$；
（2）如图，△A₁BC₁为所作；

∵△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A₁BC₁，
∴S_△BA1C1=S_△BAC，
线段AC旋转过程中所扫过的面积=S_扇形CBB1+S_△BA1C1-S_△BAC-S_扇形ABA1
=S_扇形CBB1-S_扇形ABA1
=$\frac{90•π•（\sqrt{13}）^{2}}{360}$-$\frac{90•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{9}{4}$π．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；记住直角三角形的内切圆的半径=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边）；也考查了旋转变换和扇形的面积公式．