Question

在直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，OA=4

3

，以OA为直径作⊙M，点C在⊙M上，且∠AOC=45°，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求证：BC为⊙M的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,平行四边形的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接CM，求出∠OCM=∠COA=45°，求出∠CMA=90°，根据平行四边形的性质求出∠BCM=∠CMA即可；
（2）首先求出平行四边形的面积，则阴影部分的面积为平行四边形的面积-△CMO和扇形CMA的面积．

解答：（1）证明：
连接CM，
∵OM=CM，∠AOC=45°，
∴∠AOC=∠OCM=45°，
∴∠CMA=45°+45°=90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC∥OA，
∴∠BCM=180°-90°=90°，
∴MC⊥BC，
∵MC是半径，
∴BC是⊙M的切线；
（2）∵OA=4

3

，
∴CM=2

3

，
∴S_{四边形ABCD}=OA•CM=4

3

×2

3

=24，
∵S_△COM=

1

2

×CM•OM=6，S_扇形CMA=

1

4

×π×12=3π，
∴图中阴影部分的面积=24-6-3π=18-3π．

点评：本题考查了平行四边形性质，切线的判定，圆周角定理，扇形的面积公式等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，综合性比较强．