Question

已知：如图，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC为边分别在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N．
（1）若连接BG、CE，求证：BG=CE．
（2）试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．

Answer 1

考点：正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）根据正方形性质AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC，求出∠GAB=∠EAC，证出△BAG≌△EAC即可；
（2）根据三角形中位线求出MN=PQ，MN=PN，MN∥PQ，得出菱形，求出∠PNM=90°即可．

解答：（1）证明：连接BG和CE交于O，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG=∠GAC+∠EAG，
∴∠GAB=∠EAC，
在△BAG和△EAC中，

AB=AE ∠BAG=∠EAC AG=AC

，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG=CE．

（2）四边形PQMN为正方形，
证明：∵EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N，
∴PN∥BG，MN=

1

2

CE，MN∥CE，PQ=

1

2

CE，PQ∥CE，PN=

1

2

BG，
∵BG=CE，
∴PN=MN，MN=PQ，MN∥PQ，
∴四边形PQMN是菱形，
∵△BAG≌△EAC，
∴∠GBA=∠AEC，
∵四边形ABDE是正方形，
∴∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠BWA=90°，
∵∠BWA=∠GWE，
∴∠GWE+∠AEC=90°，
∴∠EOW=180°-90°=90°，
∵MN∥CE，PN∥BG，
∴∠NZO=∠EOW=90°，∠NIO=90°，
∴∠MNP=360°-90°-90°-90°=90°
∴菱形PQMN是正方形，
即四边形PQMN为正方形．

点评：本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．