题目内容

20．若定义a•b=ab+a+b，从左到右依次计算x=1•2•3…（n-1）•n，则满足x＞2016的最小正整数n是（　　）
A．6B．7C．8D．9

分析 根据题意当n=1，2，3，4，5，6，依次计算，直至出现第一个超过2016时，停止，此时就是最小的正整数．

解答 解：∵a•b=ab+a+b，
∴当n=2时，x1=1•2=1×2+2+1=5＜2016
当n=3时，x2=1•2•3=x1•3=5•3=5×3+5+3=23＜2016，
当n=4时，x3=1•2•3•4=x2•4=23•4=23×4+23+4=119＜2016，
当n=5时，x4=1•2•3•4•5=x3•5=119•5=119×5+119+5=719＜2016，
当n=6时，x5=1•2•3•4•5•6=x4•6=719•6=719×6+719+6=5036＞2016，
∵满足x＞2016的最小正整数n是6，
故选A．

点评 此题是有理数无理数的概念与运算，主要考查了新定义，理解新定义，并能应用，运用依次取n的方法是解本题的关键．

练习册系列答案
相关题目
1．计算：$\sqrt{99×100×101×102+1}$=10099．
11．如图，直线x⊥直线y于点O，直线x⊥AB于点B，E是线段AB上一定点，D点为线段OB上的一动点（点D不与点O、B重合），CD⊥DE交直线y于点C，连接AC．
（1）当∠OCD=60°时，求∠BED的度数；
（2）当∠CDO=∠A时，CD⊥AC吗？请说明理由；
（3）若∠BED、∠DCO的角平分线的交点为P，当点D在线段OB上运动时，问∠P的大小是否为定值？若是定值，求其值，并说明理由；若变化，求其变化范围．
8．已知实数x满足x+$\frac{1}{x}$=3，则x2+$\frac{1}{x^2}$的值为7；已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，则$\frac{2x+y-z}{3x-2y+z}$=$\frac{3}{4}$．
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与中线CD，边CB相交于点H，E，AH=2CH，请画出示意图并求出sinB的值．
5．如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：
（1）AM=$\frac{1}{2}$EG；
（2）AH⊥EG；
（3）EG2+BC2=2（AB2+AC2）．
12．若一个直角三角形三条边长都是正整数，且一条直角边与斜边的和为25，试求出这个直角三角形的三边长．
9．已知，如图，在△ABC中，AB=12，BC=13，以BC为斜边作等腰直角△BCD，E为AC边中点，若∠BAD=45°，求DE的长．
10．数学问题：计算$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{3}}+…+\frac{1}{{m}^{n}}$*（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）
探究问题：为解决上面的数字问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{2}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

探究二：计算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{3}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．
两边同除以2，得$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2×{3}^{n}}$\

探究三：计算$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+..+\frac{1}{{4}^{n}}$．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：根据前面探究结果：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2×{3}^{n}}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+..+\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3×{4}^{n}}$．
…
推出：$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{3}}+…+\frac{1}{{m}^{n}}$=$\frac{1}{m-1}$-$\frac{1}{（m-1）{m}^{n}}$．（只填空，其中m、n都是正整数，且m≥2，n≥1）
拓广应用：计算$\frac{5-1}{5}+\frac{{5}^{2}-1}{{5}^{2}}+\frac{{5}^{3}-1}{{5}^{3}}+…+\frac{{5}^{n}-1}{{5}^{n}}$．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网