Question

9．已知，如图，在△ABC中，AB=12，BC=13，以BC为斜边作等腰直角△BCD，E为AC边中点，若∠BAD=45°，求DE的长．

Answer 1

分析 由题目条件不能直接求出DE的长，这就意味着需要转化，注意到E为中点，如果能让D点也成为中点，那么DE就是中位线，而△BCD又是等腰直角角三角形，于是只需将△BCD沿BD翻折至△FBD，则D点就是FC的中点，DE就是△CFA的中位线，进而只需求出AF的长就可以了，翻折之后，∠DFB=∠BAD=45°，于是F，B，D，A四点共圆，从而∠FAB=90°，而BF=BC=13，A=12，AF=5，结果不言而喻．

解答 解：将△BCD沿BD翻折至△FBD，连接AF，如图，

∵△BCD是等腰直角三角形，BD=CD，
∴FD=CD=BD，∠DFB=45°，BF=BC=13，
∵∠BAD=45°，
∴FBDA四点共圆，
∴∠FAB=∠FDB=90°，
∵AB=12，
∴AF=5，
∵AE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、四点共圆的判定与性质、勾股定理、中位线等知识点，题目虽小，难度却不小，是一道妙题，值得品味．通过翻折将D点变为中点，从而将DE变为中位线是解答本题的难点和技巧所在．