Question

13．如图1，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（-1，0），B（-3，0），与y轴交于C（0，3）．

（1）求二次函数的解析式和直线AC的解析式．
（2）点P在抛物线上，以P为圆心，$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$为半径的圆与直线AC相切，求点P坐标．
（3）如图2，点D、E均在抛物线上，连接OD、BD、DE，且BD=OD，∠CDO=∠EDB，求点D和点E坐标．

Answer 1

分析 （1）只需运用待定系数法就可求出二次函数及直线AC的解析式；
（2）过点P作直线AC的平行线MN，分别交x轴、y轴于M、N，如图1，设直线MN的解析式为y=3x+b，要求点P的坐标，只需求出b．由题可求出点O到直线MN的距离，然后可用面积法求出b，问题得以解决；
（3）过点C作CC′∥x轴，交DE于C′，过点D作x轴的垂线，交x轴于点G，交CC′于H，如图2，则有DG⊥OB，DH⊥CC′．根据三角形的性质可得OG=BG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$，从而可求出点D的坐标．易证∠C′DH=∠CDH，从而可证到△C′HD≌△CHD，则有C′H=CH=$\frac{3}{2}$，从而可求出点C′的坐标，进而可求出直线DE的解析式，然后解直线DE与抛物线的解析式组成的方程组，就可得到点E的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（-3，0），C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3；
设直线AC的解析式为y=kx+3，
把A（-1，0）代入上式，得-k+3=0，
解得k=3，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）过点P作直线AC的平行线MN，分别交x轴、y轴于M、N，如图1，
∵以P为圆心，$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$为半径的圆与直线AC相切，
∴直线MN与直线AC之间的距离为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∵A（-1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3．
∵∠AOC=90°，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴点O到直线AC的距离为$\frac{1×3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴点O到直线MN的距离为$\frac{\sqrt{10}}{2}$+$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
设直线MN的解析式为y=3x+b，
则M（-$\frac{b}{3}$，0），N（0，b），
∴OM=$\frac{b}{3}$，ON=b，MN=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{9}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}b}{3}$，
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$×$\frac{b}{3}×b$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{10}b}{3}$×$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴b=8，
∴直线MN的解析式为y=3x+8．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+8}\\{y={x}^{2}+4x+3}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{13+3\sqrt{21}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{13-3\sqrt{21}}{2}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{13+3\sqrt{21}}{2}$）或（$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{13-3\sqrt{21}}{2}$）；

（3）过点C作CC′∥x轴，交DE于C′，过点D作x轴的垂线，交x轴于点G，交CC′于H，如图2，
则有DG⊥OB，DH⊥CC′．
∵DB=DO，
∴OG=BG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$，
当x=-$\frac{3}{2}$时，y=（-$\frac{3}{2}$）²+4×（-$\frac{3}{2}$）+3=-$\frac{3}{4}$，
∴点D的坐标为D$（{-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}}）$．
∵DB=DO，DG⊥OB，
∴∠BDG=∠ODG．
∵∠CDO=∠EDB，
∴∠C′DH=∠CDH．
在△C′HD和△CHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C′DH=∠CDH}\\{DH=DH}\\{∠C′HD=∠CHD}\end{array}\right.$，
∴△C′HD≌△CHD，
∴C′H=CH=$\frac{3}{2}$，
∴CC′=3，
∴点C′的坐标为（-3，3）．
设直线DE的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}m+n=-\frac{3}{4}}\\{-3m+n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{5}{2}$x-$\frac{9}{2}$．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{2}x-\frac{9}{2}}\\{y={x}^{2}+4x+3}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{3}{2}}\\{{y}_{1}=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-5}\\{{y}_{2}=8}\end{array}\right.$
∴E（-5，8）．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式，直线与抛物线的交点问题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用面积法是解决第（2）小题的关键，将∠CDO=∠EDB转化为∠C′DH=∠CDH，进而得到△C′HD≌△CHD，是解决第（3）小题的关键．