Question

已知：关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值；
（3）在（2）的条件下，令y=mx²+（3m+1）x+3，如果当x₁=a与x₂=a+n（n≠0）时有y₁=y₂，求代数式4a²+12an+5n²+16n+8的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）分类讨论：当m=0时，原方程化为x+3=0，解得x=-3；当m≠0时，计算判别式得△=（3m-1）²，由于（3m-1）²≥0，则不论m为任何实数时总有两个实数根，所以不论m为任何实数时，方程 mx²+（3m+1）x+3=0总有实数根；
（2）先解方程mx²+（3m+1）x+3=0得到x₁=-3，x₂=-

1

m

，由于方程mx²+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，易得m=1；
（3）当m=1时得到y=x²+4x+3，当x₁=a时，y₁=a²+4a+3，当x₂=a+n时，y₂=（a+n）²+4（a+n）+3，则a²+4a+3=（a+n）²+4（a+n）+3，变形得 n（2a+n+4）=0，由于n≠0，所以2a=-n-4，然后变形4a²+12an+5n²+16n+8得到（2a）²+2a•6n+5n²+16n+8，再利用整体代入的方法计算．

解答：（1）证明：当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=-3；
当m≠0时，
∵△=（3m+1）²-12m=9m²-6m+1=（3m-1）²．
∵（3m-1）²≥0，
∴不论m为任何实数时总有两个实数根，
综上所述，不论m为任何实数时，方程 mx²+（3m+1）x+3=0总有实数根；
（2）解：当m≠0时，解方程mx²+（3m+1）x+3=0得 x₁=-3，x₂=-

1

m

，
∵方程mx²+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，
∴m=1；
（3）解：∵m=1，y=mx²+（3m+1）x+3，
∴y=x²+4x+3，
又∵当x₁=a与x₂=a+n（n≠0）时有y₁=y₂，
∴当x₁=a时，y₁=a²+4a+3，
当x₂=a+n时，y₂=（a+n）²+4（a+n）+3，
∴a²+4a+3=（a+n）²+4（a+n）+3，
化简得 2an+n²+4n=0，
即 n（2a+n+4）=0，
又∵n≠0，
∴2a=-n-4，
∴4a²+12an+5n²+16n+8
=（2a）²+2a•6n+5n²+16n+8
=（n+4）²+6n（-n-4）+5n²+16n+8
=24．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．