Question

4．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（1，4）与B（5，0），C（-1，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（1＜x＜5），写出四边形ABCD的面积S关于点D的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值；
（3）点E是该二次函数图象上的点，点E是x轴上的点，如果以A、C、E、F为顶点的四边形是以AC为一边的平行四边形，直接写出E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B、C的坐标代入二次函数解析式求出a、b、c的值即可；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为E（1，0），连接ED、DB，过D作DF⊥AE，DG⊥x轴，垂足分别为F，G，分别表示出三角形ACE，三角形ADE，以及三角形BDE的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值；
（3）由于AC确定，得到点E与点A的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E的坐标．

解答 解：（1）把点A（1，4）与B（5，0），C（-1，0）代入y=ax²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=4}\\{25a+5b+c=0}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$；
（2）如图1，过A作x轴的垂直，垂足为E（1，0），连接ED、DB，过D作DF⊥AE，DG⊥x轴，垂足分别为F，G，
S_△ACE=$\frac{1}{2}$CE•AE=$\frac{1}{2}$×2×4=4；
S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DF=$\frac{1}{2}$×4×（x-1）=2x-2；
S_△BDE=$\frac{1}{2}$BE•DG=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$）=-x²+4x+5，
则S=S_△ACE+S_△ADE+S_△BDE=4+2x-2-x²+4x+5=-x²+6x+7，
∴S关于x的函数表达式为S=-x²+6x+7（1＜x＜5），
∵S=-x²+6x+7=-（x-3）²+16，
∴当x=3时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16；
（3）∵AC为平行四边形的一边，则AC∥EF，AE∥CF，A，E到x轴的距离相等，
∴|y_E|=|y_A|=4，
∴y_E=±4．
当y_E=4时，解方程-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$=4得，
x₁=1，x₂=3，
∴点E的坐标为（3，4）；
当y_E=-4时，解方程-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$=-4得，
x₁=2-$\sqrt{17}$，x₂=2+$\sqrt{17}$，
∴点E的坐标为（2-$\sqrt{17}$，-4），（2+$\sqrt{17}$，-4）．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求出直线及抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、解一元二次方程、平行四边形的性质、抛物线的性质等知识的综合应用，运用割补法及配方法是解决问题的关键，解题时注意运用分类讨论的思想．