Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设PO两点移动t秒后（0＜t＜5）后，△POC的面积为S米²．
（1）AC=

 

 米；PC=

 

（用t的代数式表示）．
（2）求面积S与时间t的关系式．
（3）在PO两点移动过程中，△POC能否与△ABC相似？若能，求出t值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：动点型

分析：（1）运用勾股定理求出AC，运用PC=AC-AP求解．
（2）作PE⊥BC交BC于点E，运用三角形的面积求出面积S与时间t的关系式．
（3）△POC与△ABC相似分两种情况：①当∠POC=90°时；②当∠OPC=90°时；分别运用三角形相似求出时间t．

解答：解（1）∵在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，
∴AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
∵动点P以2米/秒的速度从点A出发，
∴PC=10-2t．
故答案为：10，10-2t．
（2）如图1，作PE⊥BC交BC于点E，

设PO两点移动t秒后（0＜t＜5），
∴CO=t，PC=10-2t，
∵sin∠ACB=

AB

AC

=

6

10

=

3

5

，
∴sin∠ACB=

PE

PC

=

PE

10-2t

=

3

5

，
∴PE=

3

5

（10-2t），
∴S=

1

2

OC•PE=

1

2

t•

3

5

（10-2t）=3t-

3

5

t²，
∴S=3t-

3

5

t²，
（3）如图2，①当∠POC=90°时，

设PO两点移动t秒后（0＜t＜5），
∴CO=t，PC=10-2t，
∵cos∠ACB=

BC

AC

=

8

10

=

4

5

，
∴cos∠ACB=

OC

PC

=

4

5

∴

t

10-2t

=

4

5

，解得t=

40

13

，
②如图3，当∠OPC=90°时，

设PO两点移动t秒后（0＜t＜5），
∴CO=t，PC=10-2t，
∵cos∠ACB=

BC

AC

=

8

10

=

4

5

，
∴cos∠ACB=

PC

OC

=

4

5

∴

10-2t

t

=

4

5

，解得t=

25

7

，
综上所述△POC与△ABC相似时t=

40

13

或

25

7

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及矩形的性质，解题的关键是运用三角形相似求出t，注意分两种情况．