Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=B．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）若BP=1cm，求点E分DC所成的比？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰梯形的性质

专题：

分析：（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可证得∠BAP=∠EPC，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△APB∽△PEC；
（2）首先过点D作DF⊥BC交BC于点F，得出CF=2cm，又由△APB∽△PEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△APB∽△PEC；

（2）解：如图，

过点D作DF⊥BC交BC于点F，
则CF=2cm，
在Rt△DCF中，∠C=60°，CF=2cm，
∴DC=4cm，
∵△APB∽△PEC，
∴

AB

PC

=

BP

EC

，
即

4

6

=

1

EC

，
∴EC=

3

2

cm，DE=

5

2

cm．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．