Question

如图，已知菱形AOBD的A、B、D三点在⊙O上，延长BO至点P，交⊙O于点C，且BP=3OB．
求证：AP是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：连接OD、AO，根据菱形的性质得AO=OB=BD=DA，则可判断△OAD和△OBD都为等边三角形，所以∠AOD=∠BOD=60°，则∠AOP=60°，于是又可判断△AOC为等边三角形，所以AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，由PB=3BO得到CP=OC=AC，根据等腰三角形的性质得∠P=∠CAP，然后利用三角形外角性质有∠P+∠CAP=∠ACO=60°，得到∠CAP=30°，所以∠OAP=90°，最后利用切线的判定定理得到AP为⊙O的切线．

解答：证明：连接OD、AC，如图，
∵四边形AOBD为菱形，
∴AO=OB=BD=DA，
∴△OAD和△OBD都为等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠AOP=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，
∵PB=3BO，OC=OB，
∴CP=OC=AC，
∴∠P=∠CAP，
∵∠P+∠CAP=∠ACO=60°，
∴∠CAP=30°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴AP为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质．