Question

17．如图，在四边形ACBM中，∠C=∠M=90°，∠CAB=∠MAB=60°，将△ABM绕点A顺时针旋转α（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB，BC于点G，H．
（1）求证：△ACB≌△AMB；
（2）若α=30°，求证：四边形ADHC是正方形；
（3）若∠AFG=70°，求α的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知利用全等三角形的判定定理AAS定理可得结论；
（2）由旋转可知∠MAD=30°，利用角的加减可得∠GADD=30°，易得∠CAD=90°，又因为∠CCC=∠DD=90°，由矩形的判定定理可知四边形ADADHC是矩形，由全等三角形的性质和旋转的性质可得AC=AD，利用正方形的判定定理可得结论；
（3）连接FFG，利用全等三角形的性质和旋转的性质可得∠CAB=∠DAE，易得∠CCAF=∠GADG，易得△ACFACF≌△ADGAAD，由全等三角形的性质定理可得AAF=AAG，利用三角形的内角和定理可得结果．

解答 （1）证明：△ACB与△AMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠M=90°}\\{∠CAB=∠MAB=60°}\\{BA=BA}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△AMB（AAS）；

（2）证明：当α=30°时，∠MADMAD=30°，
∵∠CABCAB=∠MMAB=60°，
∴∠GADD=30°，
∴∠CADCA=90°．
∴四边形ADADHC是矩形．
∵△AACB≌△AMBA，
∴AAC=AM=ADA，
∴四边形AADHC是正方形；
  
（3）解：如右图，连接FFG，
∵∠CAF+∠FABF=∠GADG+∠FABF，
∴∠CCAF=∠GADG，
在△ACFACF和△ADG中AAD，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠GAD}\\{AC=AD}\\{∠C=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ACFACF≌△ADGAAD（ASA），
∴AAF=AAG，
∴∠AGFA=∠AAFG=70°，
∴α=40°．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质定理，利用旋转的性质得到全等的条件是解答此题的关键．