Question

4．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-10，0），点B在第二象限，AO=AB，OB=8$\sqrt{5}$，点A关于直线OB的对称点为A₁，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＜0）的图象经过点A₁，则k=-48．

Answer 1

分析 连结AA₁交OB于C点，连结OA₁，如图，设B（x，y），利用两点间的距离公式得到（x+10）²+y²=10²，x²+y²=（8$\sqrt{5}$）²，通过解方程组得到B点坐标为（（-16，8），再证明AA₁与OB互相垂直平分，根据线段的中点坐标公式得到C点坐标为（-8，4），再得到A₁点的坐标为（-6，8），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．

解答 解：连结AA₁交OB于C点，连结OA₁，如图，
设B（x，y），
∵OA=AB=10，
∴（x+10）²+y²=10²，
∵OB=8$\sqrt{5}$，
∴x²+y²=（8$\sqrt{5}$）²，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{（x+10）^{2}+{y}^{2}=1{0}^{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（8\sqrt{5}）^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-16}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-16}\\{y=-8}\end{array}\right.$（舍去），
∴B点坐标为（（-16，8），
∵AO=AB，
而点A关于直线OB的对称点为A₁，
∴AA₁与OB互相垂直平分，
∴C点坐标为（-8，4），
∴A₁点的坐标为（-6，8），
把A₁（-6，8）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-6×8=-48．
故答案为-48．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了轴对称的性质和线段的中点坐标公式．