Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点A（0，1），B（1，-2）和点C（-1，6）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若m＞n＞2，比较m²-4m与n²-4n的大小；
（3）将抛物线y=ax²+bx+c平移，平移后图象的顶点为（h，k），若平移后的抛物线与直线y=x-1有且只有一个公共点，请用含h的代数式表示k．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）根据待定系数法即可求得解析式；
（2）根据抛物线的性质，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，即可判定m²-4m+1＞n²-4n+1，进而求得m²-4m＞n²-4n．
（3）设平移后的抛物线的表达式为y=（x-h）²+k，根据题意列出x-1=（x-h）²+k，根据直线与抛物线有且只有一个公共点，则△=（2h+1）²-4（h²+k+1）=0，从而求得k=h-

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解答：解：（1）∵抛物线过点A（0，1），B（1，-2）和点C（-1，6）．
∴

c=1 a+b+c=-2 a-b+c=6

∴

a=1 b=-4 c=1

，
∴二次函数表达式为y=x²-4x+1．
（2）∵当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴当m＞n＞2，时，m²-4m+1＞n²-4n+1，即m²-4m＞n²-4n．
（3）由（1）知，a=1．设平移后的抛物线的表达式为y=（x-h）²+k，
∵直线与抛物线有且只有一个公共点，
∴方程x-1=（x-h）²+k有两个相等的实数根，
整理得：x²-（2h+1）x+h²+k+1=0，
∴△=（2h+1）²-4（h²+k+1）=0，
∴k=h-

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点评：本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，以及抛物线和直线的交点，熟练掌握抛物线的性质和图象上点的坐标特征是本题的关键．