Question

3．如图，AB是半圆O（的）直径，半径OC⊥AB，连线AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交$\widehat{BC}$于点D，连接CD、OD．以下结论错误的是（　　）

• A． AC∥OD
• B． CD²=CE•CO
• C． S_△AEC=2S_△DOE
• D． AC=2CD

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可得到A正确，过点O作OG⊥AC，再根据直角三角形斜边大于直角边可证D错误；利用相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质得出即可C正确；根据相似三角形的性质即可得到B正确．

解答 证明：∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴故A选项正确．
如图1，过点O作OG⊥AC，
∵OG⊥AC，
∴$\widehat{AG}=\widehat{CG}$，
∵半径OC⊥AB于点O，
∴$\widehat{AG}$=$\widehat{CG}$=$\widehat{CD}$，
∴AG=GC=CD，
∴AC＜2CD，
∴故D选项错误．
如图2，过点E作EM⊥AC于点M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分别交OC于点E，
EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=$\sqrt{2}$ME=$\sqrt{2}$EO，
由①得：∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DOE，
∴$\frac{EC}{EO}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AEC}}{{S}_{△DEO}}$=（$\sqrt{2}$）²=2，
∴S_△AEC=2S_△DEO；故C正确，
∵OC⊥AB，OA=OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠DOB=∠COD=∠BAC=45°，
∵∠ADC与∠AOC都对$\widehat{AC}$，
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，
∴∠ADC=∠COD，又∠OCD=∠DCE，
∴△DCE∽△OCD，
∴$\frac{DC}{OC}=\frac{CE}{CD}$，即CD²=CE•OC，
故B正确．
故选D．

点评 此题考查了圆周角定理，圆心角、弧及弦之间的关系，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．