Question

13．如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为$\sqrt{5}$，设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）若F在抛物线第四象限上，求使四边形OBFC的面积最大时的点F的坐标；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理，可得CN的长，可得M点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据面积的和差，可得△BCF，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得P点坐标．

解答 解：（1）如图1，
，
由题意可知C（0，-3），
∴抛物线的解析式为y=ax²-2ax-3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN=1，
∴CN=2，于是m=-1．
同理可求得B（3，0），
∴a×3²-2-2a×3-3=0，得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）如图2，
，
由B（3，0），C（0，-3）得BC的解析式为y=x-3，E点在BC上，F在抛物线上，
设F（m，m²-2m-3），E（m，m-3），EF=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m，
S_△BCF最大时，S_OBCF最大．
S_△BCF=$\frac{1}{2}$EF•x_B=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，S_△BCF最大=$\frac{27}{8}$，
m=$\frac{3}{2}$，m²-2m-3=$\frac{9}{4}$-3-3=-$\frac{15}{4}$，即F（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）当y=0时，x²-2x-3=0，解得x=-1，x=3，即A（-1，0），B（3，0），
y=（x-1）²-4，即E（1，-4）．
由勾股定理得AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，
①显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P₁（0，0），
②过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂，如图3，

由Rt△CAP₂∽Rt△BCE，得，
$\frac{A{P}_{2}}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{A{P}_{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$，AP₂=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
OP₂=$\sqrt{A{{P}_{2}}^{2}-A{O}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P₂（0，$\frac{1}{3}$）
③过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃，如图4，

由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得
$\frac{C{P}_{3}}{BC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{C{P}_{3}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$，CP₃=$\sqrt{10}$．
OP₃=$\sqrt{C{{P}_{2}}^{2}-O{C}^{2}}$=9，
P₃（9，0），
故在坐标轴上存在三个点P₁（0，0），P₂（0，$\frac{1}{3}$），P₃（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用勾股定理得出B点坐标是解题关键；利用三角形的面积得出二次函数得出二次函数的性质是解题关键；利用相似三角形的性质得出P点坐标是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．