Question

9．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，CB⊥x轴于B，CA⊥y轴于A，CB=3，CA=6，有一反比例函数图象刚好过点C．
（1）分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式．
（2）直线l⊥x轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交AC于点E，交直线AB于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t（秒）
①问是否存在t的值，使四边形DFBC为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线BC方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四连带菜为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件可以得到点A、B、C的坐标，然后用待定系数法就可解决问题；
（2）①可用t的代数式表示DF，然后根据DF=BC求出t的值，得到DF与CB重合，因而不存在t，使得四边形DFBC为平行四边形；
②可分两种情况（点Q在线段BC和在线段BC的延长线上）讨论，由于DE∥QC，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需DE=QC，只需将DE、QC分别用t的式子表示，求出t，就可解决问题．

解答 解：（1）由题意可得：点C的坐标为（6，3），点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0）．
设过点C的反比例函数的表达式为y=$\frac{m}{x}$，则有m=6×3=18，
∴过点C的反比例函数的表达式为y=$\frac{18}{x}$．
设过A、B两点的一次函数的函数表达式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴过A、B两点的一次函数的函数表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；

（2）①不存在t，使得四边形DFBC为平行四边形．
理由：由题可得x_D=x_F=t，
则y_D=$\frac{18}{t}$，y_F=-$\frac{1}{2}$t+3，
∴DF=y_D-yF=$\frac{18}{t}$-（-$\frac{1}{2}$t+3）=$\frac{18}{t}$+$\frac{1}{2}$t-3．
当DF=BC时，$\frac{18}{t}$+$\frac{1}{2}$t-3=3，
整理得：t²-12t+36=0，
解得：t₁=t₂=6，
此时DF与CB重合，
∴不存在t，使得四边形DFBC为平行四边形；
②Ⅰ．当0＜t＜1时，点Q在线段BC，
此时DE=$\frac{18}{t}$-3，BQ=3t，CQ=3-3t．
当DE=QC时，$\frac{18}{t}$-3=3-3t，
整理可得：t²-2t+6=0，
∵△=（-2）²-4×1×6=-20＜0，
∴方程无解，
∴当0＜t＜1时，不存在t，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．
Ⅱ．当t＞1时，点Q在线段BC的延长线上，
此时DE=$\frac{18}{t}$-3，BQ=3t，CQ=3t-3．
∵DE∥QC，
∴当DE=QC时，四边形DECQ是平行四边形，
此时$\frac{18}{t}$-3=3t-3，
整理可得：t²=6，
解得t₁=$\sqrt{6}$，t₂=-$\sqrt{6}$（舍去），
综上所述：当t=$\sqrt{6}$时，以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．
当t=$\sqrt{6}$时，点Q在线段BC的延长线上，
此时∠DEC=90°，DE=$\frac{18}{\sqrt{6}}$-3=3$\sqrt{6}$-3，EC=6-$\sqrt{6}$，
∴DE≠EC，
∴平行四边形DECQ只是矩形，不是正方形．

点评 本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的表达式，平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，需要注意的是：以点D、E、Q、C为顶点的四边形的四个顶点的顺序不确定，需要分情况讨论．