Question

1．已知△ABC∽△A′B′C′，且$\frac{AB}{A′B′}$=2，AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，点P，P′分别在BC和B′C′上，BP=$\frac{1}{3}$BC，B′P′=$\frac{1}{3}$B′C′，则$\frac{{S}_{△ADP}}{{S}_{△A}{′}_{D}{′}_{P}′}$=4．

Answer 1

分析 根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{BC}{B′C′}$=2，∠B=∠B′，利用$\frac{BP}{B′P′}$=$\frac{BC}{B′C′}$得到$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BP}{B′P′}$，则可判断△ABP∽△A′B′P′，得到$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AP}{A′P′}$，所以$\frac{AP}{A′P′}$=$\frac{AD}{A′D′}$，于是可判断Rt△ADP∽Rt△A′D′P′，然后根据相似三角形的性质易得$\frac{{S}_{△ADP}}{{S}_{△A}{′}_{D}{′}_{P}′}$=4．

解答 解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，
∴$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{BC}{B′C′}$=2，∠B=∠B′，
∵BP=$\frac{1}{3}$BC，B′P′=$\frac{1}{3}$B′C′，
∴$\frac{BP}{B′P′}$=$\frac{BC}{B′C′}$，
∴$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BP}{B′P′}$，
而∠B=∠B′，
∴△ABP∽△A′B′P′
∴$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AP}{A′P′}$，
∴$\frac{AP}{A′P′}$=$\frac{AD}{A′D′}$，
∴Rt△ADP∽Rt△A′D′P′，
∴$\frac{{S}_{△ADP}}{{S}_{△A}{′}_{D}{′}_{P}′}$=（$\frac{AD}{A′D′}$）²=4．
故答案为4．

点评 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了相似三角形的判定．