Question

11．如图所示，在直角坐标系xOy中，已知一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+2的图象于x轴，y轴分别交于A，D两点，四边形ABCD是正方形
（1）求点AD的坐标，并求边AD的长．
（2）求点B，C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=0和y=0分别代入y=-$\frac{1}{2}$x+2，求出y，x的值即可确定点A，D的坐标，再根据勾股定理求出AD的长，即可解答；
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，证明△DOA≌△AFB（AAS），得到OA=BF=4，AF=OD=2，所以OF=6，可得点B的坐标为（6，4）；同理，可得△DOA≌△CED（AAS），所以OA=ED=4，EC=OD=2，可得OE=6，所以点C的坐标为（2，6）．
（3）先作出过B关于x轴的对称点N，连接DN交x轴于M，则M就是符合条件的点，求出点N的坐标，进而求出直线DN，再求出与x轴交点即可．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}$x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=4，
∴点A的坐标为（4，0）、D的坐标为（0，2），
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$．
（2）如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

∵正方形ABCD，x轴⊥y轴，
∴∠DOA=∠DAE=∠AFB=90°，AD=AB，
∴∠ODA+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAF=90°，
∴∠ODA=∠BAF，
在△DOA与△AFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOA=∠AFB}\\{∠ODA=∠BAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△DOA≌△AFB（AAS），
∴OA=BF=4，AF=OD=2，
∴OF=6，
∴点B的坐标为（6，4），
同理，可得△DOA≌△CED（AAS），
∴OA=ED=4，EC=OD=2，
∴OE=6，
∴点C的坐标为（2，6）．
（3）能，如图，过B关于x轴的对称点N，连接DN交x轴于M，则M符合要求，

∵点B（6，4）关于x轴的对称点N坐标为（6，-4），
设直线DN的解析式为：y=kx+b，把点D、点N的坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{6k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线DN的解析式为y=-x+2，
当y=0时，x=2，
∴M的坐标是（2，0），
当点M（2，0）时，使MD+MB的值最小，即△MDB的周长最小．

点评 本题主要考查了一次函数的性质，能求与x轴，y轴的交点坐标和理解有关最小值问题是解本题的关键，难点是理解MD+MB的值最小如何求．