Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；

（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+，D（﹣2，4）；（2）点P的横坐标为﹣；（3）AN＝1或．

【解析】

（1）根据抛物线过A、B两点，可用交点式求出抛物线的解析式，然后求抛物线的顶点坐标即可；

（2）设点P（m，﹣m2﹣m+），分别用m表示出PE和PG，从而得出矩形的周长与m的二次函数关系式，利用二次函数的顶点式求最值即可；

（3）利用相似三角形的判定定理可得△BDM∽△AMN，列出比例式，并根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式分别求出AB、AD、BD，最后根据等腰三角形的腰的情况分类讨论即可.

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）

∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，

则顶点坐标的横坐标为: ,代入可得顶点坐标的纵坐标为:4

∴点D（﹣2，4）；

（2）设点P（m，﹣m2﹣m+），

则PE＝﹣m2﹣m+，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，

∴矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+﹣4﹣2m）＝﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，故当m＝﹣时，矩形PEFG周长最大，

此时，点P的横坐标为﹣；

（3）∵∠DMN＝∠DBA，

∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，

∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，

∴∠NMA＝∠MDB，

∴△BDM∽△AMN，

∴，

而AB＝1－(﹣5)=6，AD＝BD＝=5，

①当MN＝DM时，

∴△BDM≌△AMN，

即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝AB－AM＝1；

②当NM＝DN时，

则∠NDM＝∠NMD，

∴△AMD∽△ADB，

∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝，

而，即，

解得：AN＝；

③当DN＝DM时，

∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，

∴∠DNM＞∠DMN，

∴DN≠DM；

综上所述：AN＝1或．