Question

【题目】如图，直线与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 经过 B、C 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点 E 是抛物线上的一动点（不与 B，C 两点重合），△BEC 面积记为 S，当 S 取何值时，对应的点 E 有且只有三个？

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】

（1）先利用一次函数解析式确定B（0，3），C（4，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）由于E点在直线BC的下方的抛物线上时，存在两个对应的E点满足△BEC面积为S，则当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，所以过E点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为，利用方程组只有一组解求出b得到E点坐标，然后计算此时S△BEC．

（1）当x=0时，y=-x+3=3，则B（0，3），

当y=0时，-x+3=0，解得x=4，则C（4，0），

把B（0，3），C（4，0）代入y=ax2+x+c得，

所以抛物线解析式为；

（2）当E点在直线BC的下方的抛物线上时，一定有两个对应的E点满足△BEC面积为S，

所以当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，

即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点，

设此时直线解析式为，

方程组只有一组解，

方程有两个相等的实数解，

则△=122-4×3×（-24+8b）=0，解得b=，解方程得x1=x2=2，

E点坐标为（2，3），

此时，

所以当S=1时，对应的点E有且只有三个．