Question

【题目】已知关于x的方程

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边的长为这个方程的两个实数根，求△ABC的周长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5；

【解析】

（1）先计算△，化简得到△=（k-2）2，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；

（2）利用求根公式计算出方程的两根x1=k-1，x2=1，则可设b=k-1，c=2，然后讨论：当2为腰；当1为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．

(1)证明：△=k24×1×(k1)=k24k+4=(k2)2

∵无论k取什么实数值,(k2)20，

∴△0，

∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；

(2)∵x=，

∴x1=k1,x2=1，

∵两边恰好是这个方程的两个实数根，

当2为腰，则k1=2，解得k=3，此时三角形的周长=2+2+1=5；

当1为腰时，k1=1，k=2，此时1+1=2，故此种情况不存在.

综上所述，△ABC的周长为5.