Question

【题目】综合与探究

如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．其顶点为D，对称轴是直线l，且与x轴交于点H．

（1）求点A，B，C，D的坐标；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的﹣个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）若点E是线段AC上的一个动点（E与A．C不重合），过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，与x轴交于点G．则在点E运动的过程中，是否存在EF＝2EG？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（﹣1，0）．点C坐标为（0，3）．点D坐标为（﹣1，4）；（2）△PBC周长的最小值为；（3）存在点E（﹣2，1），使得EF＝2EG．

【解析】

（1）当y=0时，-x2-2x+3=0，求得：点A坐标为（-3，0），点B坐标为（-1，0）；令x=0，求得C坐标为（0，3）；化为顶点式即可求得点D的坐标；

（2）△PBC的周长为PB+PC+BC，BC为定值，当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．即可求解；

（3）设点E坐标为（x，x+3），点F（x，-x2-2x+3），则EF=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x，EG=x+3，即可求解．

（1）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，

解得x1＝﹣3，x2＝1，∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（﹣1，0）．

当x＝0时，y＝3，∴点C坐标为（0，3）．

∵y＝﹣（x+1）2+4

∴点D坐标为（﹣1，4）；

（2）△PBC的周长为PB+PC+BC，

∵BC为定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．

∵点A，点B关于抛物线的对称轴l对称，

∴连接AC，交l于点P，点P即为所求的点．

∵AP＝BP，∴PB+PC+BC＝AC+BC．

∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（0，3），

∴AC＝，BC＝，

∴△PBC周长的最小值为；

（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，得．

解得k＝1，b＝3．

∴直线AC的解析式为y＝x+3．

设点E坐标为（x，x+3），点F（x，﹣x2﹣2x+3），

则EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，EG＝x+3．

当EF＝2EG时，有﹣x2﹣3x＝2（x+3）．

解得x1＝﹣2，x2＝﹣3（舍去）

当x＝﹣2时，点E坐标为（﹣2，1）．

∴存在点E（﹣2，1），使得EF＝2EG．