题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,点A为切点,BP与⊙O交于点C,点D是AP的中点,连结CD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=2,∠P=30°,求阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)连结OC,AC,由圆周角定理和切线的性质得出∠ABP=90°,∠ACP=90°,由直角三角形斜边上的中线性质得出DC=AP=DA,由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA,∠OAC=∠OCA,证出∠OCD=90°,即可得出结论;
(2)由含30°角的直角三角形的性质得出BP=2AB=4,由勾股定理求出AP,再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD的长即可.
(1)连结OC,AC,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,AP是切线,
∴∠BAP=90°,∠ACP=90°,
∵点D是AP的中点,
∴DC═AP=DA,
∴∠DAC=∠DCA,
又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°,
即OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(2)∵在Rt△ABP中,∠P=30°,
∴∠B=60°,
∴∠AOC=120°,
∴OA=1,BP=2AB=4,,
∴=.
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