Question

10．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿边AB运动，到点B停止，过点E作EF∥BD交AD于点F，把△FAE绕点F逆时针方向旋转得到△FGH，点G落在线段EF上，设点E的运动时间为t（秒）
（1）求EG的长．（用含t的代数式表示）
（2）求点G在∠ABD的平分线上时BE的长
（3）设△FGH与△ABD重合部分图形的周长为y，当点E与点A、B均不重合时，求y与t之间的函数关系
（4）在点E运动的同时，点P从点B出发，以每秒9个单位长度的速度沿折线BD-DC运动，当点E停止运动时，点P也随之停止，直接写出点P在直线GH上时t的值．

Answer 1

分析 （1）由△AEF∽△ABD，可得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{EF}{BD}$，即$\frac{4t}{8}$=$\frac{AF}{6}$=$\frac{EF}{10}$，推出AF=3t，EF=5t，由此即可解决问题．
（2）如图2中，作FN⊥BD于N，GK⊥AB于K，GH交BD于M，连接BG．根据GK=GM列出方程即可解决问题．
（3）分两种情形分别讨论即可①当0＜t＜$\frac{3}{4}$时，重叠部分是△GFH．②当$\frac{3}{4}$≤t＜2时，如图4中，重叠部分是四边形FGMN．
（4）分两种情形分别列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AB=8，AD=6，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{EF}{BD}$，
∴$\frac{4t}{8}$=$\frac{AF}{6}$=$\frac{EF}{10}$，
∴AF=3t，EF=5t，
∵AF=FG=3t，
∴EG=EF-FG=2t．

（2）如图2中，作FN⊥BD于N，GK⊥AB于K，GH交BD于M，连接BG．

由△GKE∽△FAE，△DFN∽△DBA，可得GK=$\frac{6}{5}$t，FN=GM=$\frac{4}{5}$（6-3t），
∵BG平分∠ABD，
∴GK=GM，
∴$\frac{6}{5}$t=$\frac{4}{5}$（6-3t），
∴t=$\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{4}{3}$时，点G在∠ABD的平分线上．

（3）①如图3中，作AM⊥BD于M，交EF于N．

易知AM=$\frac{24}{5}$，AN=$\frac{12}{5}$t，
当点H在BD上时，AN+GH=AM，
∴$\frac{12}{5}$t+4t=$\frac{24}{5}$，
∴t=$\frac{3}{4}$，
当0＜t＜$\frac{3}{4}$时，重叠部分是△GFH，此时△FGH的周长为y=12t．
②当$\frac{3}{4}$≤t＜2时，如图4中，重叠部分是四边形FGMN．

四边形FGMN的周长=y=FG+GF+FH+MN-HM-NH
=12t+$\frac{3}{4}$[4t-（$\frac{24}{5}$-$\frac{12}{5}$t）]-[4t-（$\frac{24}{5}$-$\frac{12}{5}$t）]-$\frac{5}{4}$[4t-（$\frac{24}{5}$-$\frac{12}{5}$t）]=$\frac{12}{5}$t+$\frac{36}{5}$．
综上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{12t}&{（0＜t＜\frac{3}{4}）}\\{\frac{12}{5}t+\frac{36}{5}}&{（\frac{3}{4}≤t＜2）}\end{array}\right.$．

（4）如图5中，作FN⊥BD于N，设GH交BD于M交CD于K．

易知DF=6-3t，DN=$\frac{3}{5}$（6-3t），DM=MN+DN=3t+$\frac{3}{5}$（6-3t），DK=$\frac{5}{4}$DM=$\frac{5}{4}$[3t+$\frac{3}{5}$（6-3t）]．
由题意9t=10-[3t+$\frac{3}{5}$（6-3t）]或9t-10=$\frac{5}{4}$[3t+$\frac{3}{5}$（6-3t）]．
解得t=$\frac{32}{51}$s或$\frac{29}{15}$s．
∴t=$\frac{32}{51}$s或$\frac{29}{15}$s时，点P在直线GH上．

点评 本题考查矩形的性质、旋转变换、角平分线的判定定理、相似三角形的判定和性质，平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．