Question

15．由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务．
问题情境：在四边形ABCD中，AC是对角线，E为边BC上一点，连接AE．以E为旋转中心，将线段AE顺时针旋转，旋转角与∠B相等，得到线段EF，连接CF．
（1）特例分析：如图1，若四边形ABCD是四边形，求证：AC⊥CF；
（2）拓展分析一：如图2，若四边形ABCD是菱形，探究下列问题：
①当∠B=50°时，求∠ACF的度数；
②针对图2的条件，写出一般的结论（不必证明）；
（3）拓展探究二：如图3，若四边形ABCD是矩形，且BC=k•AB（k＞1）．若前提条件不变，“特例分析”中得到的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，修改题中的条件使结论成立（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EH∥AC交AB于H．只要证明△HAE≌△CEF，即可推出∠AHE=∠ECF=135°，由∠BCA=45°，推出∠ACF=90°；
（2）①如图2中，作EH∥AC交AB于H．只要证明△HAE≌△CEF，即可解决问题．②∠ACF=∠B；
（3）结论：当EF=k•AE时，CF⊥AE．如图3中，作EH∥AC交AB于H，AC与EF交于点O．只要证明△HAE∽△CEF，推出∠HEA=∠F，由∠HEA=∠CAE，推出∠CAE=∠F，由∠AOE=∠FOC，∠EAO+∠AOE=90°，推出∠FOC+∠F=90°，即可得到∠OCF=90°；

解答 （1）证明：如图1中，作EH∥AC交AB于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=45°，
∵EH∥AC，
∴∠BHE=∠BAC=45°，∠BEH=∠BCA=45°，
∴∠BHE=∠BEH=45°，∠AHE=135°，
∴BH=BE，
∴AH=CE，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF=∠B=90°，
∴∠HAE=∠CEF，
在△HAE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{∠HAE=∠CEF}\\{AH=CE}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△CEF，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
∵∠BCA=45°，
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥CF．
（2）解：①如图2中，作EH∥AC交AB于H．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，
∵EH∥AC，
∴∠BHE=∠BAC，∠BEH=∠BCA，
∴∠BHE=∠BEH，
∴BH=BE，
∴AH=CE，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF=∠B，
∴∠HAE=∠CEF，
在△HAE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{∠HAE=∠CEF}\\{AH=CE}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△CEF，
∴∠AHE=∠ECF，
∵∠B=50°，
∴∠BHE=∠ACB=65°，
∴∠AHE=∠ECF=115°
∴∠ACF=115°-65°=50°．

②结论：∠ACF=∠B．（证明方法类似①）

（3）解：结论：当EF=k•AE时，CF⊥AE．理由如下：
如图3中，作EH∥AC交AB于H，AC与EF交于点O．

∵EH∥AC，
∴$\frac{AH}{AB}$=$\frac{EC}{CB}$，
∴$\frac{AH}{EC}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{K}$，
∵EF=k•AE，
∴$\frac{AH}{EC}$=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{1}{k}$，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF=∠B=90°，
∴∠HAE=∠CEF，
∴△HAE∽△CEF，
∴∠HEA=∠F，
∵∠HEA=∠CAE，
∴∠CAE=∠F，
∵∠AOE=∠FOC，∠EAO+∠AOE=90°，
∴∠FOC+∠F=90°，
∴∠OCF=90°，
∴AC⊥CF．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．