Question

12．如图，已知△ABC与△DEF分别是等边三角形和等腰直角三角形，AC与DF交于点G，AD与FC分别是△ABC和△DEF的高，线段BC，DE在同一条直线上，则下列说法不正确的是（　　）

• A． △AGD∽△CGF
• B． △AGD∽△DGC
• C． $\frac{{S}_{△AGD}}{{S}_{△CGF}}$=3
• D． $\frac{AG}{CG}$=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先利用AD∥FC可对A选项进行判断；再根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得到∠DAC=30°，∠ACD=60°，∠FDC=45°，则∠AGD=105°，∠DGC=75°，则△AGD与△DGC不相似，于是可对B选项进行判断；设CD=a，则AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$a，CF=CD=a，利用△AGD∽△CGF，根据相似三角形的性质可对C、D选项进行判断．

解答 解：∵AD与FC分别是△ABC和△DEF的高，
∴AD⊥BC，FC⊥DE，
∴AD∥FC，
∴△AGD∽△CGF，所以A选项的说法正确；
∵△ABC与△DEF分别是等边三角形和等腰直角三角形，
∴∠DAC=30°，∠ACD=60°，∠FDC=45°，
∴∠ADG=45°，∠AGD=105°，
而∠DGC=75°，
∴△AGD与△DGC不相似，所以B选项的说法错误；
设CD=a，则AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$a，CF=CD=a，
∵△AGD∽△CGF，
∴$\frac{{S}_{△AGD}}{{S}_{△CGF}}$=（$\frac{AD}{CF}$）²=（$\frac{\sqrt{3}a}{a}$）²=3，所以C选项的说法正确；
$\frac{AG}{CG}$=$\frac{AD}{CF}$=$\frac{\sqrt{3}a}{a}$=$\sqrt{3}$，所以D选项的说法正确．
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．也考查了相似三角形的性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．