Question

10．反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（-1，4），且与直线y=-x+b（b≠0）在第二、四象限分别相交于P、Q两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点，若S_△ODQ=S_△OCD，实数b的值为-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 要求实数b的值，根据题意可知，b存在两种情况，分别画出相应的图形，然后进行推导，即可得到b的值，本题得以解决．

解答 解：当b＜0时，作QE⊥y轴于点E，连接OQ，如右图1所示，
∵直线y=-x+b（b≠0），与x轴、y轴分别相交于C、D两点，
∴当x=0时，y=b；当y=0时，x=b；
即点C的坐标是（b，0），点D的坐标是（0，b），
∴OC=OD=-b，
∵S_△ODQ=S_△OCD，
∴$\frac{OC•OD}{2}=\frac{OD•QE}{2}$，
∴OC=QE，
∴点Q的坐标是（-b，2b），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（-1，4），
∴$4=\frac{k}{-1}$，得k=-4，
∴$y=\frac{-4}{x}$，
又∵点Q（-b，2b）在$y=\frac{-4}{x}$上，
∴$2b=\frac{-4}{-b}$，
解得，b=-$\sqrt{2}$或b=$\sqrt{2}$（舍去）；
当b＞0时，如右图2所示，
此时△ODQ与△OCD的面积不相等，故不符合题意；
故答案为：$-\sqrt{2}$．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答问题．