Question

20．关于x的方程（k-1）x²-2kx+k+1=0．
（1）求k为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）求k为何值时，方程两个实数根中，一根是另一根的3倍．

Answer 1

分析 （1）由关于x的方程（k-1）x²-2kx+k+1=0有两个不相等的实数根，联立根的判别式＞0及二次项系数非0可得出关于k的一元二次不等式组，解不等式组即可得出k的取值范围；
（2）由方程的求根公式表示出两个根，结合一根是另一根的3倍得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-1≠0}\\{{b}^{2}-4ac＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k-1≠0}\\{（-2k）^{2}-4（k-1）（k+1）＞0}\end{array}\right.$，
解得：k≠1．
∴当k≠1时，方程有两个不相等的实数很；
（2）（k-1）x²-2kx+k+1=0，
解得：x₁=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=1，x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{k+1}{k-1}$．
∵方程两个实数根中，一根是另一根的3倍，
∴$\frac{k+1}{k-1}$=3，或者$\frac{k+1}{k-1}$=$\frac{1}{3}$，
解得：k=2，或k=-2．
∴当k为-2或2时，方程两个实数根中，一根是另一根的3倍．

点评 本题考查了根的判别式、解一元一次方程、解一元二次不等式组以及求根公式，解题的关键是：（1）找出关于k的一元二次不等式组；（2）由求根公式表示出来两根．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合根的判别式以及二次项系数非0得出不等式组是关键．