Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边BC上一点，点E、F分别是线段AB、AD中点，联结CE、CF、EF．
（1）求证：△CEF≌△AEF；
（2）联结DE，当BD=2CD时，求证：DE=AF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）在直角三角形ABC中，E为斜边AB的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CE=AE，在直角三角形ACD中，F为斜边AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到AF=CF，再由EF=EF，利用SSS即可得证；
（2）由EF为三角形ABD的中点，利用中位线定理得到EF与BD平行，EF等于BD的一半，再由BD=2DC，等量代换得到EF=CD，再由EF与CD平行，得到四边形CEFD为平行四边形，可得出DE=CF，再由CF=AF，等量代换得到DE=AF．

解答：证明：（1）∵∠ACB=90°，且E线段AB中点，
∴CE=

1

2

AB=AE，
∵∠ACD=90°，F为线段AD中点，
∴AF=CF=

1

2

AD，
在△CEF和△AEF中，

CF=AF EF=EF CE=AE

，
∴△CEF≌△AEF（SSS）；
（2）连接DE，
∵点E、F分别是线段AB、AD中点，
∴EF=

1

2

BD，EF∥BC，
∵BD=2CD，
∴EF=CD．
又∵EF∥BC，
∴四边形CEFD是平行四边形，
∴DE=CF，
∵CF=AF，
∴DE=AF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，中位线定理，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．