Question

如图1，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，OA=OB=3，过点A，B的抛物线对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一交点为点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，如果将三角板的直角顶点C在x轴上滑动，一直角所在的直线过点B，另一条直角边与抛物线交点为E，其横坐标为4，试求点C的坐标；
（3）如图3，点P为抛物线对称轴上一动点，M为抛物线在x轴上方图象上一点，N为平面内一动点，是否存在P、M、N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图2所示，作辅助线，构建相似三角形，列方程求出点C的坐标；
（3）存在．本问分为5种情形，需要分类讨论，分别计算，如答图3所示．

解答：解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴设抛物线解析式为：y=a（x-1）²+k
由题意可知：A（3，0）、B（0，3），代入上式得：

4a+k=0 a+k=3

，
解得：a=-1，k=4，
∴y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3．

（2）令x=4，则y=-x²+2x+3=-5，∴E（4，-5）．

如答图2，过点E作EF⊥x轴于点F，则EF=5，OF=4．
设C（m，0）（m＜0），则OC=-m，CF=OF+OC=4-m．
易证△BOC∽△CFE，则有

OB

CF

=

OC

EF

，即

3

4-m

=

-m

5

，
解得：m₁=2-

19

，m₂=2+

19

（舍去）
∴C（2-

19

，0）．

（3）存在．
（i）若以AP、AM为正方形的两边：

①若点M在对称轴右侧，如答图3-1所示．
设M（x，y）（y＞0）
过M作MF⊥x轴于点F，易证△MFA≌△ACP，
∴MF=AC=2，
∴-x²+2x+3=2，解方程得：x=1±

2

（负值舍去），
∴M（1+

2

，2）；
②若点M在对称轴左侧，如答图3-2所示．
同理可求得：M（1-

2

，2）；
（ii）若以MP、MA为正方形的两边：

①若点M在对称轴右侧，如答图3-3所示．
设M（x，y）（y＞0）
过M作MF⊥x轴于点F，易证△MFA≌△AGP，
∴MF=MG，∴OF=CF+OC=MG+OC=MF+OC，即x=y+1．
∴x=（-x²+2x+3）+1，解方程得：x=

-1± 17

2

（负值舍去），
∴M（

1+ 17

2

，

-1+ 17

2

）；
②若点M在对称轴左侧，如答图3-4所示．
同理可求得：M（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）；
（iii）若以AM为正方形的对角线：

如答图3-5所示，可求得M（2，3）．
综上所述，存在满足题意的点．点M的坐标为（1+

2

，2），（1-

2

，2），（

1+ 17

2

，

-1+ 17

2

），（2，3），（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）．

点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数、相似三角形、正方形等知识点，涉及考点众多，计算量大，有一定的难度．本题难点在于第（3）问，需要具备较强的分类讨论思维以及空间想象能力，避免漏解．