Question

8．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，D，E是AC的延长线上的点，连接BD交⊙O于点F，且∠BAD=2∠DBE，AB=AD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，DE=1，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠DBE=$\frac{∠BAD}{2}$，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ABD=∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD）=90°-$\frac{∠BAD}{2}$=90°-∠DBE，于是得到结论；
（2）连接BC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据BE是⊙O的切线得到∠ABE=90°，设CD=x，则AB=AD=4+x，AE=5+x，由射影定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∴∠BAD=2∠DBE，
∴∠DBE=$\frac{∠BAD}{2}$，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD）=90°-$\frac{∠BAD}{2}$=90°-∠DBE，
∴∠ABD+∠DBE=90°-∠DBE+∠DBE=90°，
∴AB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BE是⊙O的切线
∴∠ABE=90°，
设CD=x，则AB=AD=4+x，AE=5+x，
由射影定理得：AB²=AC•AE，
即（4+x）²=4（x+5），
解得：x=2（舍去负值），
∴BC²=AB²-AC²=（4+2）²-4²=20，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{20+{2}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，射影定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．