Question

6．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m²+2mn+2n²-6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m²+2mn+2n²-6n+9=0
∴m²+2mn+n²+n²-6n+9=0
∴（m+n）²+（n-3）²=0
∴m+n=0，n-3=0
∴m=-3，n=3
问题
（1）若△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²-6a-6b+18+|3-c|=0，请问△ABC是什么形状？说明理由．
（2）若x²+4y²-2xy+12y+12=0，求x^y的值．
（3）已知a-b=4，ab+c²-6c+13=0，则a+b+c=3．

Answer 1

分析 （1）先把a²+b²-6a-6b+18+|3-c|=0，配方得到（a-3）²+（b-3）²+|3-c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可；
（2）首先把x²+4y²-2xy+12y+12=0，配方得到（x-y）²+3（y+2）²=0，再根据非负数的性质得到x=y=-2，代入求得数值即可；
（3）由a-b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a+b+c的值．

解答 解：（1）△ABC是等边三角形．理由如下：
由题意得（a-3）²+（b-3）²+|3-c|=0，
∴a=b=c=3，
∴△ABC是等边三角形．

（2）由题意得（x-y）²+3（y+2）²=0…4′
∴x=y=-2．
∴x^y=$\frac{1}{4}$；

（3）∵a-b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c²-6c+13=0，
整理得：（b2+4b+4）+（c²-6c+9）=（b+2）²+（c-3）²=0，
∴b+2=0，且c-3=0，即b=-2，c=3，a=2，
则a+b+c=2-2+3=3．
故答案为：3．

点评 此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．