Question

18．如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．
（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；
（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；
（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点C的坐标，然后再求得抛物线的对称轴，由点C与点D关于x=1对称可求得点D的坐标，把y=0代入抛物线的解析式可求得对应的x的值，从而可得到点A的坐标，然后利用待定系数法求得直线AD的解析式即可；
（2）首先证明△EFG为等腰直角三角形，则△EFG的周长=（2+$\sqrt{2}$）EG，设E（t，-t²+2t+3），则G（t，t+1），然后得到EG与t的函数关系式，利用配方法可求得EG的最大值，最后依据△EFG的周长=（2+$\sqrt{2}$）EG求解即可；
（3）分为AD为平行四边形的边和AD为平行四边形的对角线时，两种情况，可先利用平行四边形的性质求得点Q的横坐标，然后将点Q的横坐标代入抛物线的解析式可求得点Q的纵坐标．

解答 解：（1）将x=0代入得y=3，
∴C（0，3）．
∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，C（0，3），
∴D（2，3）．
把y=0代入抛物线的解析式得：0=-x²+2x+3，解得x=3或x=-1，
∴A（-1，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1．

（2）如图1所示：

∵直线AD的解析式为y=x+1，
∴∠DAB=45°．
∵EF∥x轴，EG∥y轴，
∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°
∴△EFG是等腰直角三角形．
∴△EFG的周长=EF+FG+EG=（2+$\sqrt{2}$）EG．
依题意，设E（t，-t²+2t+3），则G（t，t+1）．
∴EG=-t²+2t+3-（t+1）=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴EG的最大值为$\frac{9}{4}$．
∴△EFG的周长的最大值为$\frac{9}{2}$+$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

（3）存在．
①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD．
∵A，D两点间的水平距离为3，
∴P，Q两点间的水平距离也为3．
∴点Q的横坐标为3或-3．
将x=3和x=-3分别代入y=-x²+2x+3得y=0或y=-12．
∴Q（3，0）或（-3，-12）．
②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，
∵A（-1，0），D（2，3），M为AD的中点，
∴M（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
设点Q的横坐标为x，则$\frac{x+0}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得x=1，
∴点Q的横坐标为1．
将x=1代入y=-x²+2x+3得y=4．
∴这时点Q的坐标为（1，4）．
综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（-3，-12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质，列出EG的长与t的函数关系式是解答问题（2）的关键，利用平行四边形的性质求得点Q的横坐标是解答问题（3）的关键．