Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC=BC．
（1）写出点A，B的坐标为：A（-2，0），B（2，2）
（2）求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；
（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出一次函数与坐标轴的交点，进而利用相似三角形的判定与性质得出B点坐标，进而得出答案；
（2）首先求出反比例函数解析式，进而得出D点坐标，再利用函数图象得出x的取值范围；
（3）利用平行四边形的性质，进而表示出MN的长，再解方程得出a的值，即可得出P点坐标．

解答 解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当x=0时，y=1；当y=0时，x=-2，
故A（-2，0），C（0，1），
∵∵CO⊥x轴于点O，BE⊥x轴于点E，
∴CO∥BE，
∴△AOC∽△AEB，
∵AC=BC，
∴AO=OE=2，
即B点横坐标为：2，
则y=$\frac{1}{2}$×2+1=2，
故B（2，2）；
故答案为：（-2，0），（2，2）；

（2）∵B（2，2），
∴把B点代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
解得：xy=4，
即y=$\frac{4}{x}$，
将y=$\frac{1}{2}$x+1与y=$\frac{4}{x}$联立可得：
x₁=2，x₂=-4，则y₁=2，y₂=-1，
故D点坐标为：（-4，-1），
如图1所示：当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围为：0＜x＜2或x＜-4；

（3）如图2，由题意可得：CO∥MN，只有CO=MN时，O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
当P点在B点右侧或D点右侧时，设P（a，0），则N（a，$\frac{4}{a}$），M（a，$\frac{1}{2}$a+1），
故MN=$\frac{1}{2}$a+1-$\frac{4}{a}$=CO=1，
解得：a=±2$\sqrt{2}$，
当P点在B点左侧或D点左侧时，设P（a，0），则N（a，$\frac{4}{a}$），M（a，$\frac{1}{2}$a+1），
故MN=$\frac{4}{a}$-（$\frac{1}{2}$a+1）=CO=1，
解得：a=-2+2$\sqrt{3}$或-2-2$\sqrt{3}$，
综上所述：P点坐标为：（2$\sqrt{2}$，0），（-2$\sqrt{2}$，0），（-2+2$\sqrt{3}$，0），（-2-2$\sqrt{3}$，0）．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法等知识，正确表示MN的长是解题关键．