Question

15．已知关于x的方程（m+2）x²+2（m+1）x+$\frac{1}{2}$m=1．
（1）求证：此方程必有实数根；
（2）当m≠-2时，设方程的两根为x₁、x₂，若x₁²+x₂²=$\frac{9}{4}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）要证明此方程必有实数根，只要证明一元二次方程的△≥0即可解答本题；
（2）根据两根之和和两根之积和x₁²+x₂²=$\frac{9}{4}$，可以求得m的值．

解答 （1）证明：∵（m+2）x²+2（m+1）x+$\frac{1}{2}$m=1，
∴（m+2）x²+2（m+1）x+$\frac{1}{2}$m-1=0，
∴$△=[2（m+1）]^{2}-4（m+2）（\frac{1}{2}m-1）$=2（m+2）²+4≥4＞0，
故此方程必有实数根；
（2）∵（m+2）x²+2（m+1）x+$\frac{1}{2}$m=1，
∴（m+2）x²+2（m+1）x+$\frac{1}{2}$m-1=0，
∵（m+2）x²+2（m+1）x+$\frac{1}{2}$m-1=0的两根为x₁、x₂，x₁²+x₂²=$\frac{9}{4}$，
∴x₁x₂=$\frac{\frac{1}{2}m-1}{m+2}$，x₁+x₂=$-\frac{2（m+1）}{m+2}$，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2$x₁x₂=$[-\frac{2（m+1）}{m+2}]^{2}-2×\frac{\frac{1}{2}m-1}{m+2}=\frac{9}{4}$，
解得，m=2或m=-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．