Question

16．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．
（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
①求证：△AGE≌△AFE；
②若BE=2，DF=3，求AH的长．
（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可；
（2）将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′²=ND²+DM′²，接下来证明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′证明即可．

解答 解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠BAG+∠BAE=45°．
∴∠GAE=∠FAE．
在△GAE和△FAE中$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△FAE．
②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，
∴AB=AH，GE=EF=5．
设正方形的边长为x，则EC=x-2，FC=x-3．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF²=FC²+EC²，即（x-2）²+（x-3）²=25．
解得：x=6．
∴AB=6．
∴AH=6．
（2）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．
∴∠NDM′=90°．
∴NM′²=ND²+DM′²．
∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠FAM′=45°．
在△AMN和△ANM′中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM′}\\{∠MAN=M′AN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△ANM′．
∴MN=NM′．
又∵BM=DM′，
∴MN²=ND²+BM²．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．