Question

1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径为1，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AOCD是菱形，从而得到∠AOD=∠COD=60°，再根据切线的性质得∠FDO=90°，接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）在Rt△OBF中，利用60度的正切的定义求解．

解答 （1）证明：连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，
而OA=OC，
∴四边形AOCD是菱形，
∴△OAD和△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∴∠FOB=60°，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∴∠FDO=90°，
在△FDO和△FBO中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠FOD=∠FOB}\\{FO=FO}\end{array}\right.$，
∴△FDO≌△FBO，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，
而tan∠FOB=$\frac{BF}{OB}$，
∴BF=1×tan60°=$\sqrt{3}$．
∵∠E=30°，
∴EF=2BF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．