Question

8．若四边形ABCD的对角线BD=AC，且AC与BD互相平分于点O，则四边形ABCD是矩形，若∠AOB=60°，则AB：AC=1：2．

Answer 1

分析 首先证明四边形ABCD是平行四边形，由BD=AC，得出四边形ABCD是矩形；得出∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，证明△AOB是等边三角形，得出∠BAC=60°，∠ACB=30°，由直角三角形的性质得出AC=2AB，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD的对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵BD=AC，
∴四边形ABCD是矩形；
∴∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴AB：AC=1：2；
故答案为：矩，1：2．

点评 本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键．