Question

10．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：AO=CO；
（2）若∠OCD=30°，AB=$\sqrt{3}$，求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和折叠的性质证明∠DAC=∠ECA，即可得到AO=CO；
（2）首先求出AO，CO的长，再由三角形面积公式计算即可．

解答 （1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
又由折叠可知：∠BCA=∠ECA，
∴∠DAC=∠ECA，
∴OA=OC；
（2）在Rt△COD中，∠D=90°∠OCD=30°
∴OD=$\frac{1}{2}$OC，
又∵AB=CD=$\sqrt{3}$，
∴（$\frac{1}{2}$OC）²=OC²-（$\sqrt{3}$）²，
∴OC=2，
∴AO=OC=2，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$AO•CD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$

点评 本题考查了矩形的性质以及翻折变换的性质，熟记矩形的各种性质以及三角形的面积公式是解题的关键．