Question

如图，△ABC中，∠C=90°，O点在AC边上，以O为圆心，OC为半径的圆与AC的另一个交点为D，AE⊥BO的延长线于E点，且AE²=OE•BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠BAC=

3

4

，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）作OH⊥AB于H，由AE²=OE•BE，∠AEO=∠BEA可判断△EAO∽△EBA，得到∠1=∠2，再证明∠1=∠3，则∠2=∠3，根据角平分线性质得OC=OH，然后根据切线的判定定理得到AB是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，根据正切的定义可计算出AC=8，再根据勾股定理计算出AB=10，然后根据切线长定理得BC=BH=6，则AH=AB-BH=4；Rt△AHO中，根据正切的定义计算出OH=3，则OC=3，所以AO=5，利用勾股定理计算出OB=3

5

，再证明Rt△OAE∽Rt△OBC，利用相似比可计算出AE．

解答：（1）证明：作OH⊥AB于H，如图，
∵AE²=OE•BE，
∴AE：OE=BE：AE，
而∠AEO=∠BEA，
∴△EAO∽△EBA，
∴∠1=∠2，
∵∠4=∠5，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，即OB为∠ABC的平分线，
∴OC=OH，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，tan∠BAC=

BC

AC

=

3

4

，
而BC=6，
∴AC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵BH和BC都是⊙O的切线，
∴BC=BH=6，
∴AH=AB-BH=4，
在Rt△AHO中，tan∠HAO=

OH

AH

=

3

4

，
∴OH=3，
∴OC=3，
∴AO=AC-OC=5，
在△OBC中，OB=

BC2+OC2

=

62+32

=3

5

，
∵∠1=∠3，
∴Rt△OAE∽Rt△OBC，
∴

AE

BC

=

OA

OB

，即

AE

6

=

5

3 5

，
∴AE=2

5

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理．