题目内容
阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S △A1BC=S △B1CA=S △C1AB=S△ABC=a，由此继续推理，从而解决了这个问题．
（1）请直接写出S1= ；（用含字母a的式子表示）．
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S2，求S2的值．
（3）如图4，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，设△APE的面积为y，△BPF的面积为x，①求△APE，△BPF，△APF面积之间的关系；②求△ABC的面积．
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S △A1BC=S △B1CA=S △C1AB=S△ABC=a，由此继续推理，从而解决了这个问题．
（1）请直接写出S1=
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S2，求S2的值．
（3）如图4，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，设△APE的面积为y，△BPF的面积为x，①求△APE，△BPF，△APF面积之间的关系；②求△ABC的面积．
考点：面积及等积变换
专题：
分析：（1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可；
（2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可；
（3）①利用三角形面积之间关系得出其边长比，进而得出△APE，△BPF，△APF面积之间的关系；
②由
=
=
，
=
=
得出关于x，y的方程求出即可．
（2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可；
（3）①利用三角形面积之间关系得出其边长比，进而得出△APE，△BPF，△APF面积之间的关系；
②由
| S△APB |
| S△BPD |
| AP |
| PD |
| x+84 |
| 40 |
| S△APC |
| S△PCD |
| AP |
| PD |
| y+35 |
| 30 |
解答：解：（1）∵B1C=BC，A1B=AB，
∴S△ABC=S△BCA1，S△BCA1=S△A1CB1，
∴S△A1B1C=2S△ABC=2a，
同理可得出：S△A1AC1=S△CB1C1=2a，
∴S1=2a+2a+2a+a=7a；
故答案为：7a；
（2）∵A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA
根据等高两三角形的面积比等于底之比，
∴S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a，
∴S△A1B1C=2S△A1BC=4a，
∴S△A1B1B=6S△ABC=6a，
同理可得出：S△A1AC1=S△CB1C1=6a，
∴S2=19a；
（3）①过点C作CG⊥BE于点G，
∵S△BPC=
BP•CG=70；S△PCE=
PE•CG=35，
∴
=
=
=2
∴
=2，即：BP=2EP
同理，
=
=2
∴S△APB=2S△APF=x，S△APE=y，
∴x+84=2y，
即S△APB+84=2S△APE，2S△APF+84=2S△APE；
②∵
=
=
，
=
=
∴
=
，
又∵x+84=2y
∴
，
∵S△BPF=56，S△APE=70，
∴S△ABC=40+30+35+84+56+70=315．
∴S△ABC=S△BCA1，S△BCA1=S△A1CB1，
∴S△A1B1C=2S△ABC=2a，
同理可得出：S△A1AC1=S△CB1C1=2a，
∴S1=2a+2a+2a+a=7a；
故答案为：7a；
（2）∵A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA
根据等高两三角形的面积比等于底之比，
∴S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a，
∴S△A1B1C=2S△A1BC=4a，
∴S△A1B1B=6S△ABC=6a，
同理可得出：S△A1AC1=S△CB1C1=6a，
∴S2=19a；
（3）①过点C作CG⊥BE于点G，
∵S△BPC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| S△BPC |
| S△PCE |
| BP•CG |
| PE•CG |
| 70 |
| 35 |
∴
| BP |
| EP |
同理，
| S△APB |
| S△APE |
| BP |
| PE |
∴S△APB=2S△APF=x，S△APE=y，
∴x+84=2y，
即S△APB+84=2S△APE，2S△APF+84=2S△APE；
②∵
| S△APB |
| S△BPD |
| AP |
| PD |
| x+84 |
| 40 |
| S△APC |
| S△PCD |
| AP |
| PD |
| y+35 |
| 30 |
∴
| x+84 |
| 40 |
| y+35 |
| 30 |
又∵x+84=2y
∴
|
∵S△BPF=56，S△APE=70，
∴S△ABC=40+30+35+84+56+70=315．
点评：此题主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键．
练习册系列答案
核心素养学练评系列答案
单元期中期末卷系列答案
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