阅读下面资料:小明遇到这样一个问题:如图1.对面积为a的△ABC逐次进行以下操作:分别延长AB.BC.CA至A1.B1.C1.使得A1B=AB.B1C=BC.C1A=CA.顺次连接A1.B1.C1.得到△A1B1C1.记其面积为S1.求S1的值．小明是这样思考和解决这个问题的:如图2.连接A1C.B1A.C1B.因为A1B=AB.B1C=BC.C1A=CA.根据等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁，求S₁的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A₁C、B₁A、C₁B，因为A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S △A1BC=S △B1CA=S △C1AB=S_△ABC=a，由此继续推理，从而解决了这个问题．
（1）请直接写出S₁=

；（用含字母a的式子表示）．
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₂，求S₂的值．
（3）如图4，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，设△APE的面积为y，△BPF的面积为x，①求△APE，△BPF，△APF面积之间的关系；②求△ABC的面积．

考点：面积及等积变换

专题：

分析：（1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可；
（2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可；
（3）①利用三角形面积之间关系得出其边长比，进而得出△APE，△BPF，△APF面积之间的关系；
②由

S△APB

S△BPD

x+84

，

S△APC

S△PCD

y+35

得出关于x，y的方程求出即可．

解答：解：（1）∵B₁C=BC，A₁B=AB，
∴S_△ABC=S△BCA1，S△BCA1=S△A1CB1，
∴S△A1B1C=2S_△ABC=2a，
同理可得出：S△A1AC1=S△CB1C1=2a，
∴S₁=2a+2a+2a+a=7a；
故答案为：7a；

（2）∵A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA

根据等高两三角形的面积比等于底之比，
∴S_△A1BC=S_△B1CA=S_△C1AB=2S_△ABC=2a，
∴S△A1B1C=2S△A1BC=4a，
∴S△A1B1B=6S_△ABC=6a，
同理可得出：S△A1AC1=S△CB1C1=6a，
∴S₂=19a；

（3）①过点C作CG⊥BE于点G，
∵S_△BPC=

BP•CG=70；S_△PCE=

PE•CG=35，
∴

S△BPC

S△PCE

BP•CG

PE•CG

=2
∴

=2，即：BP=2EP
同理，

S△APB

S△APE