Question

3．如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G，给出下列命题：
①若k=4，则△OEF的面积为$\frac{16}{3}$；
②若k=$\frac{21}{8}$，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE•EG=$\frac{25}{6}$，则k=2．
其中正确的命题的序号是①②④（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 （1）若k=4，则计算S_△OEF=$\frac{16}{3}$≠$\frac{8}{3}$，故命题①错误；
（2）如答图所示，若k=$\frac{21}{8}$，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；
（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；
（4）求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG=$\frac{25}{6}$，求出k=2，故命题④正确．

解答 解：命题①正确．理由如下：
∵k=4，
∴E（$\frac{4}{3}$，3），F（4，1），
∴CE=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，CF=3-1=2．
∴S_△OEF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△CEF
=S_矩形AOBC-$\frac{1}{2}$OA•AE-$\frac{1}{2}$OB•BF-$\frac{1}{2}$CE•CF
=4×3-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×2=12-2-2-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$，
故命题①正确；
命题②正确．理由如下：
∵k=$\frac{21}{8}$，
∴E（$\frac{7}{8}$，3），F（4，$\frac{21}{32}$），
∴CE=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$，CF=3-$\frac{21}{32}$=$\frac{75}{32}$．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM=3，OM=$\frac{7}{8}$；
在线段BM上取一点N，使得EN=CE=$\frac{25}{8}$，连接NF．
在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN=$\sqrt{{EN}^{2}-{EM}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-{3}^{2}}$=$\frac{7}{8}$，
∴BN=OB-OM-MN=4-$\frac{7}{8}$-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{4}$．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF=$\sqrt{{BN}^{2}-{BF}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{9}{4}）^{2}+（\frac{21}{32}）^{2}}$=$\frac{75}{32}$．
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，
故命题②正确；
命题③错误．理由如下：
由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命题③错误；
命题④正确．理由如下：
为简化计算，不妨设k=12m，则E（4m，3），F（4，3m）．
设直线EF的解析式为y=ax+b，则有$\left\{\begin{array}{l}4ma+b=3\\ 4a+b=3m\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{4}\\ b=3m+3\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+3m+3．
令x=0，得y=3m+3，
∴D（0，3m+3）；
令y=0，得x=4m+4，
∴G（4m+4，0）．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3．
在Rt△ADE中，AD=OD-OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG-OM=（4m+4）-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．
∴DE•EG=5m×5=25m=$\frac{25}{6}$，解得m=$\frac{1}{6}$，
∴k=12m=2，故命题④正确．
综上所述，正确的命题是：①②④，
故答案为①②④．

点评 本题综合考查了反比例函数综合题，涉及函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．