Question

有些分式可以拆分成几个分式的和、差，观察后回答问题．
（1）观察

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，可知

1

n(n+1)

=

 

；
（2）观察

3

1×2

=1+

1

2

，

5

2×3

=

1

2

+

1

3

，

7

3×4

=

1

3

+

1

4

，可知

2n+1

n(n+1)

=

 

；
（3）利用上述规律解分式方程

1

n(n+1)

+

2n+3

(n+1)(n+2)

-

1

(n+2)(n+3)

=

1

3n

．

Answer 1

考点：解分式方程

专题：计算题,规律型,转化思想

分析：（1）归纳总结得到一般性规律，写成即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写成即可；
（3）根据得出的规律化简分式方程，计算即可求出解．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）

2n+1

n(n+1)

=

1

n

+

1

n+1

；
（3）分式方程化简得：

1

n

-

1

n+1

+

1

n+1

+

1

n+2

-

1

n+2

+

1

n+3

=

1

3n

，
即

1

n

+

1

n+3

=

1

3n

，
去分母得：3（n+3）+3n=n+3，
去括号得：3n+9+3n=n+3，
移项合并得：5n=-6，
解得：n=-1.2，
经检验n=-1.2是分式方程的解．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）

1

n

+

1

n+1

．

点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．