Question

抛物线y=x²+bx+c和x轴交于点A、B，顶点为C，且△ABC的面积为1，求b²-4c的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题,数形结合

分析：设抛物线y=x²+bx+c和x轴交于点A、B的横坐标分别是x₁、x₂．根据根与系数的关系的关系求得AB=

b2-4c

．由抛物线的解析式求得顶点C的坐标是（-

b

2

，

4c-b2

4

）．然后根据三角形的面积公式得到：

1

2

×

b2-4c

×|

4c-b2

4

|=1，整理后为：（b²-4c）³=4³．

解答：解：设抛物线y=x²+bx+c和x轴交于点A、B的横坐标分别是x₁、x₂．
则x₁+x₂=-b，x₁•x₂=c，
∴AB=|x₂-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4c

．
又∵抛物线y=x²+bx+c的顶点为C，
∴C（-

b

2

，

4c-b2

4

）．
∵△ABC的面积为1，
∴

1

2

×

b2-4c

×|

4c-b2

4

|=1，
整理，得
（b²-4c）³=4³，
解得，b²-4c=4．
答：b²-4c的值是4．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．此题的难点是根据抛物线的解析式推知AB=

b2-4c

．另外，在解

1

2

×

b2-4c

×|

4c-b2

4

|=1时，注意把（b²-4c）看成一个整体来解答．