Question

如图所示，A、B、C为⊙O上三点，点D、E分别为AB、AC的中点，OD、OE的延长线分别交⊙O于点F、G，连接FG，分别交AB、AC于点M、N，求证：AM=AN．

Answer 1

考点：垂径定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：根据垂径定理的推论可得，OD⊥AB，OE⊥AC，因为OD=OE，可得∠GFO=∠FGO，根据等角的余角相等，可得∠FMD=∠GNE，再根据对顶角相等，可得∠AMN=∠ANM由此可得出结论．

解答：证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴

AF

=

BF

，

AG

=

CG

．
又∵OD=OE，
∴∠GFO=∠FGO，
∴∠FMD=∠GNE，
∵对顶角相等，
∴∠AMN=∠ANM．
∴AM=AN．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．