Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，B（5，0），点C在y轴的负半轴上，且OB=OC，抛物线y=x²+bx+c经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上一点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（3）设E（x，y）是抛物线对称轴右侧上一动点，且位于第四象限，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．求?OEBF的面积S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；当?OEBF的面积为

175

4

时，判断并说明?OEBF是否为菱形？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据OB=OC求出点C坐标，将B、C坐标代入解析式坐标，求出b，c的值，继而可得出抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）设P（2，-m），过点C作CN⊥抛物线对称轴于点N，根据AP⊥CP，利用相似三角形的性质求出点P的坐标；
（3）设点E（x，x²-4x-5），根据平行四边形的性质可得四边形OEBF的面积=2S_△OBE，代入可求得?OEBF的面积S与x之间的函数关系式，然后将面积为

175

4

代入求出x的值，然后证明四边形OEBF为菱形．

解答：解：（1）由题意，得C（0，-5），
∵抛物线过点B、C，
代入得：

25+5b+c=0 c=-5

，
解得：

b=-4 c=-5

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x-5，
∴对称轴为直线x=2；

（2）如图1，设P（2，-m）（m＞0），
由解析式可得点A坐标为：（-1，0），
设抛物线对称轴交x轴于点M，过点C作CN⊥抛物线对称轴于点N，
∵AP⊥CP，∠AMP=90°，∠PNC=90°，
∴Rt△AMP∽Rt△PNC，
∴

MP

CN

=

PN

AM

，
∴

m

2

=

5-m

3

，
解得：m₁=2，m₂=3，
∴点P₁（2，-2），P₂（2，-3）；

（3）如图2，设点E（x，x²-4x-5），
则S_{四边形OEBF}=2S_△OBE=2×

1

2

×OB×（-x²+4x+5）=-5x²+20x+25，
其中：2＜x＜5，
当S_{四边形OEBF}=

175

4

时，
代入可得：

175

4

=-5x²+20x+25，
∴x₁=

5

2

，x₂=

3

2

（舍去），
∵OB=5，点E的横坐标为

5

2

，
∴点E在线段OB的中垂线上，
∴OE=BE，
∴平行四边形OEBF是菱形．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了利用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的对称轴交点坐标的求法等知识．此题难度适中，解题时注意仔细分析题意，注意数形结合思想的应用．